Cohomologie des espaces de Rapoport-Zink PEL unitaires non ramifiés de signature (1,n-1), en niveau maximal

Abstract: Dans leur article paru en 2011, Vollaard et Wedhorn décrivent la géométrie de la fibre spéciale des espaces de Rapoport-Zink (RZ) de type PEL unitaires non ramifiés et de signature (1,n-1). Plus précisément, ils construisent une stratification qui admet deux spécificités. La première, c'est que les strates sont indexées par les sommets de l'immeuble de Bruhat-Tits d'un groupe de similitudes unitaires sur $\mathbf Q_p$, noté J. La combinatoire inhérente à la stratification peut alors être lue sur l'immeuble. La deuxième, c'est que chaque strate est individuellement isomorphe à une variété de Deligne-Lusztig (DL), telles qu'elles furent introduites en 1976 dans le but à l'origine de classifier les représentations complexes des groupes finis de type de Lie. Ces résultats géométriques font le lien entre deux mondes a priori très différents (RZ d'un côté, DL de l'autre), mais dans lesquels les outils cohomologiques jouent un rôle important.

Dans cet exposé, j'expliquerai quelles sont les conséquences cohomologiques que l'on peut tirer à partir de cette description géométrique. Nous nous intéresserons dans un premier temps à la cohomologie de chacune des strates, qu'il est possible de calculer explicitement en utilisant les outils de la théorie de DL. Dans un deuxième temps, nous exploiterons la stratification pour tenter d'obtenir des informations sur la cohomologie de l'espace de RZ (nous resterons uniquement au niveau "maximal" dans la tour). Si cette méthode n'aboutit pas à un calcul explicite de cette cohomologie, elle donne néanmoins quelques résultats inattendus notamment car ils sortent du cadre décrit par la conjecture de Kottwitz. Il s'agit de travaux effectués dans le cadre de ma thèse en codirection avec Pascal Boyer et Naoki Imai.

Frenchalgebraic geometrynumber theory

Audience: researchers in the topic

Séminaire de géométrie arithmétique et motivique (Paris Nord)